Kort svar: De första påskkorten kom till Sverige i slutet av 1800-talet.
Vykort och julkort blev populära i Sverige under 1800-talet. Från Tyskland importerades också bruket att skicka påskkort, inte sällan med den från just Tyskland importerade påskharen som motiv. De äldsta beläggen för påskkort som jag har funnit är från annonser från 1884.
Motiven på de svenska påskkorten kom att bli ägg, kycklingar, höns och påsktuppen. Påskkärringar var också populära symboler.

Avstämplat Stockholm 22/4 1905. Porto 5 öre.
I början av 2000-talet skickades flera miljoner påskkort, men trenden är att det har minskat kraftigt därefter. Istället används sociala medier för att önska ”Glad påsk!”
Skrivet av Mattias Axelsson (författare och gymnasielärare i historia och samhällskunskap) 2021-03-30
Källor: ”Påskkort” postmuseum
”Allt fler skickar påskkort” Sydsvenskan 2003-04-12
”Påskkortens tid är förbi” Arbetarbladet 2010-04-01